Podcast Sejarah

Berapakah bilangan digit Pi yang diketahui orang Mesir lama?

Berapakah bilangan digit Pi yang diketahui orang Mesir lama?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Dari "Rhind Papyrus" dari 1600 SM kita tahu bahawa orang Mesir mempunyai anggaran untuk pi, iaitu 3,16, yang bermaksud mereka tahu hanya 2 digit pi. Menurut artikel ini mereka tahu lebih banyak digit, sekurang-kurangnya 4 digit pi. Sekitar 200 SM Archimedes menganggarkan pi hingga 22/7 yang merupakan 3 digit pi. Ini menunjukkan bahawa orang Mesir mengetahui lebih banyak digit 2000 tahun sebelum Archimedes, namun, tidak jelas bagi saya berapa digit yang sebenarnya mereka ketahui.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Orang Mesir kuno pada masa Rhind Papyrus tidak benar-benar mempunyai konsep Pi. Metode yang mereka jelaskan untuk mencari luas bulatan adalah menuliskannya di dalam kotak, dan menerapkan nisbah 64/81 ke kawasan di dalam kotak. Namun, kita tahu hari ini secara matematik sama dengan menggunakan Pi 256/81. Rambut itu lebih kecil dari 3.1605, yang pada halaman garis masa Wikipedia sama dengan memilikinya tepat ke satu perpuluhan.

Orang Babilon kuno dan India pada masa yang sama mempunyai heuristik mereka sendiri yang masing-masing menghasilkan Pi 3 + 1/8 dan 25/8, atau 3.125 (tepat). Itu sedikit lebih dekat, tetapi juga tepat untuk satu perpuluhan. Tidak ada orang lain yang diketahui telah membuat anggaran yang jauh lebih baik sehingga 2 tempat perpuluhan Archimedes hampir 2000 tahun kemudian.

Makalah yang anda kaitkan membuat beberapa spekulasi dan mengekstrapolasi dari mereka. Saya tidak mahu memberikan perhatian pendek kepada lelaki itu: mereka adalah beberapa spekulasi menarik. Saya dapati idea pembangun piramid berpusing-pusing roda trundle untuk memaparkan empat penjuru yang sangat menarik. Tetapi pada asasnya kertas itu banyak spekulasi peribadi dan keseronokan matematik, yang dibina berdasarkan inti fakta sejarah dan matematik. Sudah tentu sangat mungkin menggunakan Pi tanpa menyedarinya; itulah yang pasti dilakukan oleh pengguna roda trundle kami.

Ada seorang ahli Mesir yang berpendapat pada awal tahun 1940 bahawa orang Mesir juga menggunakan 22/7, tetapi hujah itu nampaknya tidak diterima secara meluas hari ini. Saya tidak pasti seberapa dekat hujah-hujahnya dengan kertas yang anda pautkan.


Digit Terakhir bagi Pi

[Ini adalah transkrip kasar ceramah TEDxNYED saya, yang disampaikan pada 6 Mac 2010, di New York City di Collegiate School. TEDxNYED adalah persidangan sepanjang hari & # 8220 mengkaji peranan media dan teknologi baru dalam membentuk masa depan pendidikan. & # 8221 Untuk meta-post mengenai pengalaman memberi ceramah TED (x), sila baca & # 8220 Teater Akademik (Refleksi mengenai TED & amp; TEDxNYED). & # 8221 Apa yang sebenarnya saya katakan dan lakukan di TEDxNYED menyimpang dari transkrip ini, saya melibatkan penonton secara langsung beberapa kali, sekali untuk bersenang-senang dan sekali untuk mendapatkan idea mereka mengenai subjek ini. Saya & # 8217 akan menyiarkan video apabila tersedia.]

Saya ingin menceritakan kisah tentang dunia pendidikan dan pengetahuan yang dilupakan. Ini adalah kisah peringatan, perumpamaan tentang apa yang terjadi ketika dunia berubah, ketika tradisi ditantang.

Sehingga baru-baru ini dalam sejarah manusia, pi adalah penyelesaian yang sangat dicari untuk apa yang telah lama disebut "pembetulan" atau "kuadratur" lingkaran, kata-kata mewah lebih mudah dilambangkan oleh rajah dalam slaid ini. Bagaimana anda boleh mengubah bulatan itu menjadi petak bertindih? Satu sisi segi empat sama ialah seperempat pi jika diameter bulatannya adalah 1.

Pi adalah bilangan yang didambakan selama ribuan tahun, dipenuhi dengan sifat ajaib. Generasi cendekiawan mengejarnya dengan tekun, sering menganggapnya sebagai geometri yang terbaik dan paling akhir.

Ini adalah pi-pi yang berbeza seperti yang kita ketahui oleh orang moden:

Baiklah, bukan semuanya, kerana saya pasti anda tahu. Ia hanyalah 200 digit pertama. Angka itu bertambah selama-lamanya. Saya harap anda tidak mengharapkan saya untuk mendedahkan digit terakhir sebenar pi. Kerana tidak ada satu. Pelik, bukan?

Pi tidak selalu pelik ini. Orang-orang Mesir kuno lebih tahu, mengaitkan nisbah lilitan dengan diameter bulatan pada 4 lebih dari 3 hingga ke-4. Itu jauh lebih pasti, dan lebih masuk akal.

Archimedes lebih tahu, bergantung pada nilai pi antara beberapa pecahan yang sangat dekat.

Sekiranya anda seorang literalis alkitabiah, pi sepertinya 3, kerana Alkitab secara jelas menggambarkan 30 hasta merangkumi lingkaran berdiameter 10 hasta.

Dan penyelesaiannya terus datang. Dari ahli matematik kuno dan ahli falsafah, hingga sarjana abad pertengahan, hingga zaman Renaissance dan Pencerahan. Semua orang kelihatan mampu mencari - dengan usaha yang cukup - nilai tepat untuk pi. Menjadikan bulatan adalah usaha genius dalam sains kuno yang dijelaskan dengan sempurna berabad-abad yang lalu oleh Euclid.

Tetapi sesuatu berubah secara radikal pada abad kelapan belas, tepat setelah buku itu di sebelah kanan oleh Joubert de la Rue. Beberapa ahli matematik mula memandang serius perasaan marah bahawa pi tidak mempunyai penyelesaian yang sempurna sebagai pecahan ajaib. Mungkin tidak mempunyai digit terakhir. Nombor kritikal ini di pusat matematik sebenarnya tidak rasional. Seorang ahli matematik mula memahami semula pi.

Dan di sinilah dia: ahli matematik Jerman Switzerland, Johann Heinrich Lambert:

Dia adalah anak penjahit, jelas, dan kebanyakannya mengajar diri dalam matematik. Karya cemerlangnya pada tahun 1760-an menunjukkan bahawa π / 4 tidak boleh menjadi nombor rasional - anda tidak pernah dapat mengetahui dengan tepat nilai satu sisi segi empat itu — dan dengan demikian pi juga tidak rasional. Selepas Lambert, buku teks matematik menyatakan perkara itu diselesaikan.

Betul, masalah diselesaikan & # 8230

Kecuali & # 8230. litar bulat terus berjalan. Dunia matematik telah berubah dengan penemuan abad kelapan belas tetapi entah bagaimana mesej itu tidak sampai kepada banyak orang. John Parker, di sebelah kiri, membuat penyelesaian kegemaran peribadi saya: pi tepatnya 20612/6561. Beberapa bulatan-bulatan, seperti James Smith di sebelah kanan, mengejek bukti Lambert & # 8217s sebagai karya seorang dilettante.

Perkara kemudian menjadi bukti antara ahli matematik baru dan mereka yang berpegang teguh pada visi pi sebelumnya. Rekod peperangan ini sama informatif dan juga humor. Pada tahun 1860-an dan 70-an, James Smith menggunakan Augustus De Morgan, seorang profesor matematik di London, dalam satu siri risalah pendek, yang sama dengan Twitter.

Tetapi tidak menghairankan, kecaman para profesor matematik tidak menghentikan bulatan. Penyelesaian mereka terus datang, bahkan dalam menghadapi kritikan, bahkan setelah pi terbukti transendental, yang bermaksud ia bahkan tidak dapat menjadi punca beberapa nombor atau persamaan lain. Buku kegemaran saya dari pergantian abad ke-20 mempunyai sari kata ini di sampul: & # 8220Masalah hebat yang telah membingungkan para ahli falsafah terhebat dan pemikiran paling terang dari zaman kuno dan moden kini telah diselesaikan oleh seorang rakyat Amerika yang rendah hati di kota Brooklyn. & # 8221

Sekarang, mudah untuk menertawakan squarers lingkaran sesat ini, terutama ketika mereka berasal dari Brooklyn. Tetapi jika anda membaca bulatan-bulatan dengan serius, dan berhenti memikirkannya, mereka tidak begitu berbeza dengan anda atau saya. Walaupun pada masa kita mengetahui, kita semua tetap melakukan perkara-perkara yang telah lama ditinggalkan oleh orang lain sebagai tidak masuk akal atau pasif.

Sejarah memberitahu kita bahawa orang, sayangnya, tidak pandai melihat yang baru, dan sebaliknya sangat pandai mempertahankan masa lalu dengan segala cara. Ini benar terutamanya dalam pendidikan: Euclid's Unsur, ditulis lebih dari 2.000 tahun yang lalu, masih menjadi buku teks matematik standard hingga abad ke-19, walaupun terdapat kemajuan matematik yang besar.

Oleh itu, perlu berhenti untuk memikirkan digit terakhir pi. Mengapa begitu banyak yang terus mengejar pi seperti yang dikandung secara tradisional, dan mengapa mereka menolak matematik baru?

Fikirkan sejenak mengenai perbezaan antara pi lama dan baru. Yang lama itu sempurna, sederhana, teratur, ilahi yang baru, nampaknya tidak tepat, prosa, kacau, manusia. Jadi kisah pi adalah kisah, dan psikologi, tentang apa yang berlaku ketika kompleks dan baru cuba mengatasi yang sederhana dan tradisional.

Ia berlaku di sekitar kita pada zaman digital. Kami mengganti apa yang dianggap sempurna dan disusun dengan yang kelihatan tidak tepat dan kacau.

Lihatlah apa yang telah terjadi, misalnya, dalam dekad terakhir dengan Wikipedia dan kegelisahan mengenai nasib Ensiklopedia tradisional.

Atau surat khabar dalam menghadapi bentuk kewartawanan baru, seperti blogging. Seorang bekas ahli statistik besbol, Nate Silver dari FiveThirtyEight.com, dapat dengan berani membuat keputusan untuk menganalisis pilihan raya dan ekonomi lebih baik daripada kebanyakan surat khabar? Ya sememangnya.

Kini penonton ini, di sebelah kanan layar ini, mungkin ingin menjadi jahat seperti Augustus De Morgan kepada mereka yang masih di sebelah kiri. Kita mungkin ingin meninggalkan bulatan-bulatan moden di belakang, dan sudah pasti sebahagian dari mereka akan ketinggalan. Tetapi bagi majoriti yang tidak tenteram dan terjebak antara yang lama dan yang baru, kami memerlukan kaedah lain untuk meyakinkan mereka dan mengubah status quo. Sejarah memberitahu bahawa tidak cukup untuk mengatakan bahawa orang buta terhadap masa depan. Kita harus menunjukkan dengan tepat apa kelemahan yang lama & # 8230

& # 8230dan kita harus menunjukkan bagaimana yang baru berfungsi lebih baik daripada yang lama.

Mengetahui pi dengan betul hingga digit ke-10 sangat membantu ketika meramalkan pergerakan badan-badan surgawi dengan tepat menggunakan James 1/3 3 1/8 ketika menelusuri arka planet atau bulan. Bagi sebilangan fizik, mengetahui pi dengan tepat hingga digit ke-40 adalah penting.

Lebih-lebih lagi, pi moden ini mungkin pelik, tetapi keanehannya membuka jalan penyelidikan dan pemikiran baru yang sama mencabar intelektual dan bermanfaat seperti memusingkan lingkaran. Sifat transendental pi menyebabkan ahli matematik merenungkan urutan pecahan yang tidak terhingga dan memberi kesan pada teori kekacauan. Dalam sains komputer, muncul algoritma untuk mencapai satu miliar atau trilion digit pi secepat mungkin memajukan bidang ini. Dan, jika anda masih mahukan masalah yang belum dapat diselesaikan, lihat apakah anda dapat mengetahui apakah pi adalah apa yang disebut "nombor normal", di mana pengedaran digit 0-9 adalah seragam & # 8230

& # 8230 atau ada kelebihan daripada lapan. Sekarang ini adalah masalah yang sukar, berkaitan dengan masalah sebenar dalam matematik moden. Jadi masih ada masalah yang harus diselesaikan, masalah yang lebih maju. Matematik tidak berakhir dengan akhir pi lama - ia hanya bergerak ke arah baru dan lebih menarik.

Tetapi untuk sampai ke tahap itu, ahli matematik harus menunjukkan dengan cara yang dapat difahami bagaimana pi baru membuat susunan baru.


Kandungan

Perkiraan yang paling terkenal dengan π sebelum Era Biasa adalah tepat hingga dua tempat perpuluhan, ini diperbaiki dalam matematik Cina khususnya pada milenium pertengahan pertama, hingga ketepatan tujuh tempat perpuluhan. Selepas ini, tidak ada kemajuan lagi yang dicapai hingga akhir abad pertengahan.

Beberapa ahli Mesir [4] telah mendakwa bahawa orang Mesir kuno menggunakan perkiraan π sebagai 22 ⁄ 7 = 3.142857 (sekitar 0.04% terlalu tinggi) dari awal Kerajaan Lama. [5] Tuntutan ini telah menemui keraguan. [6] [7]

Menjelang abad ke-5 CE, π telah diketahui sekitar tujuh digit dalam matematik Cina, dan sekitar lima digit dalam matematik India. Kemajuan lebih lanjut tidak dicapai selama hampir satu milenium, hingga abad ke-14, ketika ahli matematik dan astronomi India Madhava dari Sangamagrama, pengasas sekolah astronomi dan matematik Kerala, menemui siri tak terbatas untuk π, yang kini dikenali sebagai siri Madhava – Leibniz, [21] [22] dan memberikan dua kaedah untuk mengira nilai π. Salah satu kaedah ini adalah untuk mendapatkan siri penyatuan yang cepat dengan mengubah siri tak terbatas asal π. Dengan berbuat demikian, dia memperoleh seri tanpa batas

dan menggunakan 21 istilah pertama untuk menghitung sebutan π yang betul hingga 11 tempat perpuluhan sebagai 3.141 592 653 59.

Kaedah lain yang digunakannya adalah untuk menambahkan istilah yang tinggal pada siri π. Dia menggunakan istilah selebihnya

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), ahli astronomi dan matematik Parsi, menghitung dengan betul 2 π hingga 9 digit sexagesimal pada tahun 1424. [23] Angka ini bersamaan dengan 17 digit perpuluhan sebagai

Dia mencapai tahap ketepatan ini dengan mengira perimeter poligon biasa dengan sisi 3 × 2 28. [24]

Pada separuh kedua abad ke-16, ahli matematik Perancis François Viète menemui produk yang tidak terbatas yang menyatukan π yang dikenali sebagai formula Viète.

Ahli matematik Jerman-Belanda Ludolph van Ceulen (sekitar 1600) mengira 35 tempat perpuluhan pertama π dengan 2 62 -gon. Dia begitu bangga dengan pencapaian ini sehingga dia membuat mereka terpahat di batu nisannya. [25]

Dalam Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius menunjukkan bahawa perimeter poligon yang ditulis bertumpu pada lilitan dua kali lebih cepat daripada perimeter poligon yang dibatasi. Ini dibuktikan oleh Christiaan Huygens pada tahun 1654. Snellius dapat memperoleh tujuh digit π dari poligon 96 sisi. [26]

Pada tahun 1789, ahli matematik Slovene Jurij Vega mengira 140 tempat perpuluhan pertama untuk π, di mana 126 yang pertama betul [27] dan memegang rekod dunia selama 52 tahun sehingga 1841, ketika William Rutherford mengira 208 tempat perpuluhan, yang pertama 152 betul. Vega memperbaiki formula John Machin dari tahun 1706 dan kaedahnya masih disebutkan hingga kini. [ rujukan diperlukan ]

Besarnya ketepatan tersebut (152 tempat perpuluhan) dapat dimasukkan ke dalam konteks oleh fakta bahawa keliling objek yang paling terkenal, alam semesta yang dapat dilihat, dapat dihitung dari diameternya (93 miliar tahun cahaya) hingga ketepatan kurang dari satu panjang Planck (pada 1.6162 × 10 −35 meter, unit terpendek panjang yang mempunyai makna sebenar) menggunakan π yang dinyatakan hanya 62 tempat perpuluhan. [28]

Ahli matematik amatur Inggeris William Shanks, seorang yang bebas, menghabiskan lebih dari 15 tahun mengira π hingga 607 tempat perpuluhan. Ini dapat dicapai pada tahun 1873, dengan 527 tempat pertama betul. [29] Dia akan mengira digit baru sepanjang pagi dan kemudian menghabiskan sepanjang petang untuk memeriksa hasil kerjanya di pagi hari. Ini adalah pengembangan π yang paling lama hingga munculnya komputer digital elektronik tiga perempat abad kemudian. [ rujukan diperlukan ]

Pada tahun 1910, ahli matematik India Srinivasa Ramanujan menemui beberapa siri π

yang menghitung lapan tempat perpuluhan π dengan setiap istilah dalam siri ini. Sirinya kini menjadi asas untuk algoritma terpantas yang kini digunakan untuk mengira π. Lihat juga siri Ramanujan – Sato.

Dari pertengahan abad ke-20 dan seterusnya, semua pengiraan π telah dilakukan dengan bantuan kalkulator atau komputer.

Pada tahun 1944, D. F. Ferguson, dengan bantuan kalkulator meja mekanikal, mendapati bahawa William Shanks telah melakukan kesalahan di tempat perpuluhan ke-528, dan bahawa semua digit berikutnya tidak betul.

Pada tahun-tahun awal komputer, pengembangan π hingga 100 000 tempat perpuluhan [30]: 78 dikira oleh ahli matematik Maryland Daniel Shanks (tidak ada hubungannya dengan William Shanks yang disebutkan di atas) dan pasukannya di Makmal Penyelidikan Tentera Laut Amerika Syarikat di Washington, DC Pada tahun 1961, Shanks dan pasukannya menggunakan dua siri kuasa yang berbeza untuk mengira digit π. Untuk satu, diketahui bahawa sebarang kesalahan akan menghasilkan nilai yang sedikit tinggi, dan untuk yang lain, diketahui bahawa sebarang kesalahan akan menghasilkan nilai yang sedikit rendah. Oleh itu, selagi kedua siri menghasilkan digit yang sama, terdapat keyakinan yang sangat tinggi bahawa ia betul. 100,265 digit pertama π diterbitkan pada tahun 1962. [30]: 80–99 Penulis menggariskan apa yang diperlukan untuk mengira π hingga 1 juta tempat perpuluhan dan menyimpulkan bahawa tugas itu melebihi teknologi hari itu, tetapi akan dapat dilakukan dalam lima hingga tujuh tahun. [30]: 78

Pada tahun 1989, saudara Chudnovsky menghitung π hingga lebih dari 1 bilion tempat perpuluhan pada komputer super IBM 3090 menggunakan variasi berikut dari siri π tak terbatas Ramanujan:

Rekod sejak itu semuanya dicapai menggunakan algoritma Chudnovsky. Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan pasukannya di University of Tokyo menghitung π hingga lebih dari 200 bilion tempat perpuluhan pada komputer super HITACHI SR8000 / MPP (128 node) menggunakan variasi lain dari siri π tak terbatas Ramanujan. Pada bulan November 2002, Yasumasa Kanada dan sekumpulan 9 yang lain menggunakan Hitachi SR8000, sebuah komputer super 64-node dengan 1 terabyte memori utama, untuk mengira π hingga kira-kira 1,24 trilion digit dalam sekitar 600 jam (25 hari). Pada bulan Oktober 2005, mereka mengaku telah menghitungnya menjadi 1,24 trilion tempat. [31]

Pada bulan Ogos 2009, seorang superkomputer Jepun memanggil T2K Open Supercomputer lebih dari dua kali ganda rekod sebelumnya dengan mengira π hingga kira-kira 2,6 trilion digit dalam kira-kira 73 jam dan 36 minit.

Pada bulan Disember 2009, Fabrice Bellard menggunakan komputer di rumah untuk mengira 2.7 trilion digit perpuluhan π. Pengiraan dilakukan di pangkalan 2 (binari), kemudian hasilnya ditukar menjadi pangkalan 10 (perpuluhan). Langkah pengiraan, penukaran, dan pengesahan mengambil masa selama 131 hari. [32]

Pada bulan Ogos 2010, Shigeru Kondo menggunakan y-cruncher Alexander Yee untuk mengira 5 trilion digit π. Ini adalah rekod dunia untuk sebarang jenis pengiraan, tetapi secara signifikan ia dilakukan pada komputer rumah yang dibina oleh Kondo. [33] Pengiraan dilakukan antara 4 Mei dan 3 Ogos, dengan pengesahan primer dan sekunder masing-masing memakan waktu 64 dan 66 jam. [34]

Pada Oktober 2011, Shigeru Kondo memecahkan rekodnya sendiri dengan mengira sepuluh trilion (10 13) dan lima puluh digit menggunakan kaedah yang sama tetapi dengan perkakasan yang lebih baik. [35] [36]

Pada bulan Disember 2013, Kondo memecahkan rekodnya sendiri untuk kali kedua apabila dia mengira 12.1 trilion digit π. [37]

Pada bulan Oktober 2014, Sandon Van Ness, dengan nama samaran "houkouonchi" menggunakan y-cruncher untuk mengira 13,3 trilion digit π. [38]

Pada bulan November 2016, Peter Trueb dan penaja-penajanya menggunakan y-cruncher dan mengesahkan sepenuhnya 22,4 trilion digit π (22,459,157,718,361 (π e × 10 12)). [39] Pengiraan memerlukan (dengan tiga gangguan) 105 hari untuk diselesaikan, [38] batasan pengembangan selanjutnya adalah terutamanya ruang penyimpanan. [37]

Pada bulan Mac 2019, Emma Haruka Iwao, seorang pekerja di Google, mengira 31,4 trilion digit pi menggunakan mesin y-cruncher dan Google Cloud. Ini mengambil masa 121 hari untuk disiapkan. [40]

Pada Januari 2020, Timothy Mullican mengumumkan pengiraan 50 trilion digit selama 303 hari. [41] [42]

Dari beberapa ketokohan adalah teks hukum atau sejarah yang kononnya "mendefinisikan π" memiliki nilai rasional, seperti "Indiana Pi Bill" tahun 1897, yang menyatakan "nisbah diameter dan lilitan adalah seperti lima-empat hingga empat" (yang bermaksud " π = 3.2 ") dan petikan dalam Alkitab Ibrani yang menunjukkan bahawa π = 3 .

Indiana bil Edit

Apa yang disebut "Indiana Pi Bill" tahun 1897 sering dicirikan sebagai usaha untuk "mengatur nilai Pi". Sebaliknya, RUU tersebut berurusan dengan penyelesaian kononnya untuk masalah "segi empat bulatan" secara geometri. [46]

Nilai alkitabiah yang disunting

Kadang-kadang dikatakan bahawa Alkitab Ibrani menyiratkan bahawa "π sama dengan tiga", berdasarkan petikan dalam 1 Raja-raja 7:23 dan 2 Tawarikh 4: 2 yang memberikan pengukuran untuk lembangan bulat yang terletak di depan Bait Suci di Yerusalem sebagai diameter 10 hasta dan lilitan 30 hasta.

Isu ini dibincangkan dalam Talmud dan dalam sastera Rabbinic. [47] Antara banyak penjelasan dan komen adalah:

    menjelaskan perkara ini dalam bukunya Mishnat ha-Middot (teks Ibrani yang paling awal diketahui mengenai geometri, sekitar 150 CE) dengan mengatakan bahawa diameternya diukur dari di luar rim semasa lilitan diukur sepanjang dalaman rim. Tafsiran ini menunjukkan seberat kira-kira 0,225 hasta (atau, dengan andaian "hasta" 18 inci, kira-kira 4 inci), atau satu dan "ketiga lebar tangan" tebal (rujuk NKJV dan NKJV). menyatakan (sekitar 1168 CE) bahawa π hanya dapat diketahui sekitar, jadi nilai 3 diberikan cukup tepat untuk tujuan keagamaan. Ini diambil oleh beberapa [48] sebagai penegasan paling awal bahawa π adalah tidak rasional.
  • Penjelasan rabinikal lain [oleh siapa?] [tahun diperlukan] memanggil gematria: Dalam NKJV kata yang diterjemahkan 'garis pengukur' muncul dalam teks Ibrani yang dieja KAVEH קַוה, tetapi di tempat lain kata ini biasanya dieja KAV קַו. Nisbah nilai berangka ejaan Ibrani ini adalah
  • 111 ⁄ 106. Sekiranya nilai putatif 3 didarabkan dengan nisbah ini, seseorang akan memperolehnya
  • 333 ⁄ 106 = 3.141509433. - memberikan 4 digit perpuluhan yang betul, yang berada di dalam
  • 1 ⁄ 10,000 daripada nilai sebenar π.

Masih ada beberapa perbahasan mengenai petikan ini dalam biasiswa alkitabiah. [ kegagalan pengesahan ] [49] [50] Banyak pembinaan semula lembangan menunjukkan pinggiran yang lebih lebar (atau bibir yang menyala) memanjang ke luar dari mangkuk itu sendiri dengan beberapa inci untuk menyamai keterangan yang diberikan dalam NKJV [51] Dalam ayat-ayat berikutnya, pelek digambarkan sebagai "lebar tangan yang tebal dan pinggirannya disusun seperti cawan, seperti bunga lily: ia menerima dan menahan tiga ribu mandi" NKJV, yang menunjukkan bentuk yang dapat disertakan dengan tali yang lebih pendek daripada panjang keseluruhan dari pinggiran, misalnya, bunga Lilium atau cawan teh.

Hampir poligon ke bulatan Edit

Archimedes, dalam bukunya Pengukuran Bulatan, membuat algoritma pertama untuk pengiraan π berdasarkan idea bahawa perimeter mana-mana (cembung) poligon yang tertulis dalam bulatan kurang dari lilitan bulatan, yang, pada gilirannya, lebih kecil daripada perimeter poligon yang dilarang . Dia mulai dengan heksagon biasa yang tertulis dan terbatas, yang perimeternya mudah ditentukan. Dia kemudian menunjukkan cara mengira perimeter poligon sekata dua kali lebih banyak sisi yang tertulis dan dibatasi pada bulatan yang sama. Ini adalah prosedur rekursif yang akan dijelaskan hari ini sebagai berikut: Mari hlmk dan Pk menandakan perimeter poligon sekata k sisi yang masing-masing ditulis dan dibatasi dengan bulatan yang sama. Kemudian,

Archimedes menggunakan ini untuk mengira berturut-turut P12, hlm12, P24, hlm24, P48, hlm48, P96 dan hlm96 . [52] Dengan menggunakan nilai terakhir ini, ia memperoleh

Tidak diketahui mengapa Archimedes berhenti pada poligon 96 sisi, hanya memerlukan kesabaran untuk memperluas pengiraan. Heron melaporkan dalam bukunya Metrica (sekitar 60 CE) bahawa Archimedes meneruskan perhitungan dalam sebuah buku yang kini hilang, tetapi kemudian mengaitkan nilai yang salah kepadanya. [53]

Archimedes tidak menggunakan trigonometri dalam pengiraan ini dan kesukaran dalam menggunakan kaedah ini adalah untuk memperoleh perkiraan yang baik untuk akar kuasa dua yang terlibat. Trigonometri, dalam bentuk meja panjang kord dalam bulatan, mungkin digunakan oleh Claudius Ptolemy dari Alexandria untuk mendapatkan nilai π yang diberikan dalam Almagest (sekitar 150 CE). [54]

Kemajuan dalam pendekatan π (ketika metode diketahui) dibuat dengan meningkatkan jumlah sisi poligon yang digunakan dalam pengiraan. Peningkatan trigonometri oleh Willebrord Snell (1621) memperoleh batas yang lebih baik dari sepasang batas yang diperoleh daripada kaedah poligon. Oleh itu, hasil yang lebih tepat diperoleh daripada poligon dengan sisi yang lebih sedikit. [55] Rumus Viète, yang diterbitkan oleh François Viète pada tahun 1593, diturunkan oleh Viète menggunakan kaedah poligonal yang berkait rapat, tetapi dengan kawasan dan bukan perimeter poligon yang bilangan sisi adalah kekuatan dua. [56]

Percubaan utama terakhir untuk mengira π dengan kaedah ini dilakukan oleh Grienberger pada tahun 1630 yang mengira 39 tempat perpuluhan π menggunakan penyempurnaan Snell. [55]

Rumus seperti mesin Edit

Untuk pengiraan pantas, seseorang boleh menggunakan formula seperti Machin's:

bersama dengan pengembangan Taylor fungsi arctan (x). Formula ini paling mudah disahkan menggunakan koordinat kutub nombor kompleks, menghasilkan:

( = <239, 13 2> adalah penyelesaian untuk persamaan Pell x 2 −2 y 2 = −1.)

Formula seperti ini dikenali sebagai Formula seperti mesin. Rumus tertentu Machin telah digunakan dengan baik di era komputer untuk mengira nombor rekod digit π, [30] tetapi baru-baru ini formula serupa juga telah digunakan.

Sebagai contoh, Shanks dan pasukannya menggunakan formula seperti Machin berikut pada tahun 1961 untuk menghitung 100,000 digit pertama π: [30]

dan mereka menggunakan formula lain seperti Machin,

Rekod pada Disember 2002 oleh Yasumasa Kanada dari Universiti Tokyo berjumlah 1,241,100,000,000 digit. Rumus seperti Machin berikut digunakan untuk ini:

Rumus klasik lain Edit

Rumus lain yang telah digunakan untuk mengira anggaran π termasuk:

Transformasi Penumpuan Newton / Euler: [57]

di mana (2k + 1) !! menandakan produk bilangan bulat ganjil hingga 2k + 1.

Karya Ramanujan adalah asas untuk algoritma Chudnovsky, algoritma terpantas yang digunakan, pada pergantian milenium, untuk mengira π.

Edit algoritma moden

Pengembangan perpuluhan yang sangat panjang bagi π biasanya dikira dengan formula berulang seperti algoritma Gauss – Legendre dan algoritma Borwein. Yang terakhir, yang ditemui pada tahun 1985 oleh Jonathan dan Peter Borwein, bertemu dengan sangat cepat:

yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk)), ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4 - 2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) < displaystyle y_= (1-f (y_)) / (1 + f (y_))

di mana f (y) = (1 - y 4) 1/4 < displaystyle f (y) = (1-y ^ <4>) ^ <1/4 >>, urutan 1 / ak < displaystyle 1 / a_> menyusun kuartikal menjadi π, memberikan kira-kira 100 digit dalam tiga langkah dan lebih dari satu trilion digit selepas 20 langkah. Walau bagaimanapun, diketahui bahawa menggunakan algoritma seperti algoritma Chudnovsky (yang menyatukan secara linear) lebih cepat daripada formula berulang ini.

Pendekatan ini mempunyai begitu banyak digit sehingga tidak lagi berguna, kecuali untuk menguji superkomputer baru. [58] Sifat seperti normalitas potensial π akan selalu bergantung pada rentetan digit yang tidak terbatas di hujungnya, bukan pada pengiraan yang terbatas.

Pelbagai pendekatan Edit

Dari segi sejarah, asas 60 digunakan untuk pengiraan. Di pangkalan ini, π dapat dihitung hingga lapan (perpuluhan) angka signifikan dengan angka 38,29,4460, iaitu

(Angka sexagesimal seterusnya adalah 0, menyebabkan pemotongan di sini menghasilkan penghampiran yang agak baik.)

Sebagai tambahan, ungkapan berikut dapat digunakan untuk mengira π:

  • tepat hingga tiga digit:
  • tepat hingga tiga digit:
  • tepat hingga empat digit:
  • tepat hingga empat digit (atau lima angka penting):
  • anggaran oleh Ramanujan, tepat hingga 4 digit (atau lima angka penting):
  • tepat hingga lima digit:
  • tepat hingga enam digit [2]:
  • tepat hingga tujuh digit:
  • tepat hingga sembilan digit:
  • tepat hingga sepuluh digit:
  • tepat hingga sepuluh digit (atau sebelas angka penting):
  • tepat hingga 18 digit:
  • tepat hingga 30 tempat perpuluhan:
  • tepat hingga 52 tempat perpuluhan:
  • tepat hingga 161 tempat perpuluhan:
  • Perwakilan pecahan berterusan π dapat digunakan untuk menghasilkan penghampiran rasional terbaik berturut-turut. Pendekatan ini adalah perkiraan rasional terbaik yang mungkin π berbanding dengan ukuran penyebutnya. Berikut adalah senarai tiga belas yang pertama: [64] [65]

Menjumlahkan kawasan bulatan Edit

Pi dapat diperoleh dari bulatan jika jari-jari dan luasnya diketahui menggunakan hubungan:

Sekiranya bulatan dengan jejari r dilukis dengan pusatnya pada titik (0, 0), titik mana yang jaraknya dari asalnya kurang dari r akan jatuh di dalam bulatan. Teorema Pythagoras memberikan jarak dari mana-mana titik ( x , y ) ke pusat:

"Grafik kertas" matematik dibentuk dengan membayangkan 1 × 1 persegi yang berpusat di sekitar setiap sel ( x , y , di mana x dan y adalah bilangan bulat antara - r dan r. Kotak yang pusatnya berada di dalam atau tepat di sempadan bulatan kemudian dapat dihitung dengan menguji sama ada, untuk setiap sel ( x , y ),

Jumlah sel yang memenuhi keadaan itu menghampiri luas bulatan, yang kemudian dapat digunakan untuk menghitung perkiraan π. Penghampiran yang lebih dekat dapat dihasilkan dengan menggunakan nilai r yang lebih besar.

Secara matematik, formula ini boleh ditulis:

Dengan kata lain, mulakan dengan memilih nilai untuk r. Pertimbangkan semua sel ( x , y ) di mana kedua-duanya x dan y adalah bilangan bulat antara - r dan r. Bermula pada 0, tambahkan 1 untuk setiap sel yang jaraknya ke asal (0,0) kurang dari atau sama dengan r . Setelah selesai, bahagikan jumlahnya, mewakili luas bulatan jejari r, dengan r 2 untuk mencari perkiraan π. Sebagai contoh, jika r adalah 5, maka sel yang dipertimbangkan adalah:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

r kawasan penghampiran π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

Begitu juga, perkiraan π yang lebih kompleks yang diberikan di bawah ini melibatkan pengiraan berulang dari beberapa jenis, menghasilkan penghampiran yang lebih dekat dan lebih dekat dengan peningkatan jumlah pengiraan.

Pecahan berterusan Edit

Selain perwakilan pecahan berterusan sederhana [3 7, 15, 1, 292, 1, 1,. ], yang tidak menunjukkan corak yang dapat dilihat, π mempunyai banyak perwakilan pecahan lanjutan yang dihasilkan oleh peraturan mudah, termasuk kedua-duanya.

(Perwakilan lain boleh didapati di Laman Wolfram Functions.)

Trigonometri Edit

Gregory – Leibniz siri Edit

adalah siri kuasa untuk arctan (x) khusus untuk x = 1. Ia berkumpul terlalu perlahan untuk kepentingan praktikal. Walau bagaimanapun, rangkaian kuasa berkumpul lebih cepat untuk nilai x < displaystyle x> yang lebih kecil, yang membawa kepada formula di mana π < displaystyle pi> muncul sebagai jumlah sudut kecil dengan tangen rasional, yang dikenali sebagai formula seperti Machin.

Arctangent Edit

Mengetahui bahawa 4 arctan 1 = π, formula dapat dipermudah untuk mendapatkan:

dengan penumpuan sehingga setiap 10 istilah tambahan menghasilkan sekurang-kurangnya tiga digit lagi.

Sebagai alternatif, rangkaian pengembangan fungsi arctangent berikut boleh digunakan

Arcsine Edit

Memerhatikan segitiga sama sisi dan memperhatikannya

dengan penumpuan sehingga setiap lima istilah tambahan menghasilkan sekurang-kurangnya tiga digit lagi.

Algoritma Salamin – Brent Edit

Formula Bailey – Borwein – Plouffe (BBP) untuk mengira π ditemui pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe. Dengan menggunakan matematik asas 16, rumus dapat menghitung digit tertentu π — membalikkan nilai heksadesimal digit - tanpa perlu menghitung digit yang berselang (pengekstrakan digit). [68]

Pada tahun 1996, Simon Plouffe memperoleh algoritma untuk mengekstrak digit perpuluhan n π (menggunakan asas matematik 10 untuk mengekstrak asas 10 digit), dan yang dapat melakukannya dengan peningkatan kelajuan O(n 3 (log n) 3) masa. Algoritma hampir tidak memerlukan memori untuk penyimpanan array atau matriks sehingga digit satu juta dari π dapat dikira menggunakan kalkulator poket. [69] Namun, agak membosankan dan tidak praktikal untuk melakukannya.

Kecepatan pengiraan formula Plouffe ditingkatkan menjadi O(n 2) oleh Fabrice Bellard, yang memperoleh formula alternatif (walaupun hanya dalam matematik asas 2) untuk pengkomputeran π. [70]

Banyak ungkapan lain untuk π dikembangkan dan diterbitkan oleh ahli matematik India Srinivasa Ramanujan. Dia bekerja dengan ahli matematik Godfrey Harold Hardy di England selama beberapa tahun.

Peluasan perpuluhan sangat panjang π biasanya dikira dengan algoritma Gauss – Legendre dan algoritma Borwein, algoritma Salamin – Brent, yang diciptakan pada tahun 1976, juga telah digunakan.

Pada tahun 1997, David H. Bailey, Peter Borwein dan Simon Plouffe menerbitkan makalah (Bailey, 1997) mengenai formula baru untuk π sebagai siri yang tidak terhingga:

Formula ini membolehkan seseorang menghitung dengan mudah kdigit perduaan atau heksadesimal π, tanpa perlu mengira yang terdahulu k - 1 digit. Laman web Bailey [71] mengandungi derivasi dan juga pelaksanaan dalam pelbagai bahasa pengaturcaraan. Projek PiHex menghitung 64 bit sekitar bit kuadrillionth π (yang ternyata 0).

Rumus lain yang telah digunakan untuk mengira anggaran π termasuk:

Ini berkumpul dengan sangat cepat. Karya Ramanujan adalah asas untuk algoritma terpantas yang digunakan, pada pergantian milenium, untuk mengira π.

Pada tahun 1988, David Chudnovsky dan Gregory Chudnovsky menemui siri penyatuan yang lebih pantas (algoritma Chudnovsky):

Kelajuan pelbagai algoritma untuk mengira angka hingga digit yang betul ditunjukkan di bawah dalam urutan kerumitan asimptotik yang menurun. M (n) adalah kerumitan algoritma pendaraban yang digunakan.

Algoritma Tahun Kerumitan masa atau Kepantasan
Algoritma Chudnovsky 1988 O (n log ⁡ (n) 3) < displaystyle O (n log (n) ^ <3>)> [38]
Algoritma Gauss – Legendre 1975 O (M (n) log ⁡ (n)) < displaystyle O (M (n) log (n))> [73]
Pembahagian perduaan siri arctan dalam formula Machin O (M (n) (log ⁡ n) 2) < displaystyle O (M (n) ( log n) ^ <2>)> [73]
Formula Leibniz untuk π 1300-an Penumpuan sublinear. Lima bilion istilah untuk 10 tempat perpuluhan yang betul

Pi Hex Edit

Pi Hex adalah sebuah projek untuk mengira tiga digit binari khusus π menggunakan rangkaian diedarkan beberapa ratus komputer. Pada tahun 2000, setelah dua tahun, projek ini selesai mengira lima trilion (5 * 10 12), empat puluh triliun, dan kuadrillionth (10 15) bit. Ketiga-tiganya ternyata 0.

Selama bertahun-tahun, beberapa program ditulis untuk mengira π hingga banyak digit pada komputer peribadi.

Tujuan umum Edit

Sebilangan besar sistem aljabar komputer dapat mengira π dan pemalar matematik biasa yang lain dengan tepat.

Fungsi untuk mengira π juga termasuk dalam banyak perpustakaan umum untuk aritmetik ketepatan sewenang-wenangnya, misalnya Perpustakaan Kelas untuk Nombor, MPFR dan SymPy.

Edit tujuan khas

Program yang dirancang untuk mengira π mungkin mempunyai prestasi yang lebih baik daripada perisian matematik tujuan umum. Mereka biasanya melaksanakan pemeriksaan titik dan pertukaran cakera yang cekap untuk memudahkan pengiraan yang sangat lama dan mahal untuk memori.


Berapa Banyak Digit Pi Yang Perlu Anda Ingat Untuk Menjadi Istimewa

Hari ini adalah Hari Pi & mdash hari setiap tahun, 14 Mac, yang mengikuti tiga digit pertama pi (3.14). Dan tahun ini & rsquos Pi Day adalah yang istimewa: Sejak & mdash di A.S. & mdash tarikhnya dinyatakan sebagai 14/3/15, kami mempunyai lima digit pertama pi di kalendar.

Itu & rsquos berita untuk sebilangan orang. Ketika mengetahui berapa digit orang pi yang tahu dari hati, majoriti hanya mengetahui 3.14. Mana yang baik! Melainkan jika anda & # 39; t membina jambatan, itu & # 39; yang paling anda pasti perlu tahu.

Saya meminta Audiens SurveyMonkey untuk membuat tinjauan untuk melihat sejauh mana orang dapat membaca angka pi yang tidak terhingga. Dari 941 responden, 836 cuba menamakan digit selepas titik perpuluhan. Ini sejauh mana mereka dapat:

TINGKAT KEUTAMAAN PERATUSAN RESPONDEN
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Sekiranya anda dapat mencapai 3 yang pertama selepas titik perpuluhan, anda & # 39; mendapat 5% penghafal pi teratas. Saya meminta orang-orang yang mencapai sejauh itu untuk terus berjalan, dan kebanyakan mengetuk tidak lama kemudian.

Penurunan terbesar berlaku selepas & ldquo3.14, & rdquo kerana responden yang sejauh ini berjaya mencapai & ldquo3.141 & rdquo hanya sekitar 52 peratus masa.

Pekerja NASA mungkin hanya dapat mengetahui enam digit pertama selepas titik perpuluhan. Juga, kita mempunyai kalkulator untuk bila kita memerlukan beberapa digit lagi, TI-89 untuk kalkulator tersebut tidak mencukupi dan Wolfram Alpha ketika kita mengurangkan kalkulator tersebut menjadi kekacauan merokok.

Mungkin selepas kiamat yang sangat dinanti-nantikan, orang-orang di Large Hadron Collider akan senang dengan lelaki yang menghafal puluhan ribu digit pi, tetapi buat masa ini, dia & # 39; baru mendapat hobi pelik. Mengetahui pi adalah tindakan yang sangat berkesan, seperti orang yang dengan sukarela memperoleh skor SAT atau peratusan tamat sekolah menengah.


Berapakah bilangan digit Pi yang diketahui orang Mesir lama? - Sejarah

Pi adalah nama yang diberikan kepada nisbah lilitan bulatan dengan diameter. Ini bermaksud, untuk mana-mana bulatan, anda boleh membahagikan lilitan (jarak di sekeliling bulatan) dengan diameter dan selalu mendapat nombor yang sama. Tidak kira seberapa besar atau kecil bulatannya, Pi tetap sama. Pi sering ditulis menggunakan simbol dan diucapkan & quotpie & quot, sama seperti pencuci mulut.

Sejarah Ringkas Pi
Tamadun purba tahu bahawa terdapat nisbah lilitan tetap dengan diameter kira-kira sama dengan tiga. Orang Yunani menyempurnakan proses dan Archimedes dikreditkan dengan pengiraan teoritis pertama Pi.

Pada tahun 1761 Lambert membuktikan bahawa Pi tidak rasional, iaitu, ia tidak boleh ditulis sebagai nisbah bilangan bulat.

Pada tahun 1882 Lindeman membuktikan bahawa Pi transendental, iaitu, Pi bukanlah akar dari persamaan algebra dengan pekali rasional. Penemuan ini membuktikan bahawa anda tidak dapat & quotquarequare lingkaran & quot, yang merupakan masalah yang menimpa banyak ahli matematik pada masa itu. (Maklumat lebih lanjut mengenai kuasa dua bulatan.)

Berapakah bilangan digit? Adakah ia akan berakhir?
Kerana Pi dikenali sebagai nombor yang tidak rasional, ia bermaksud digit tidak akan berakhir atau diulang dengan cara yang diketahui.Tetapi mengira digit Pi telah terbukti menarik bagi ahli matematik sepanjang sejarah. Ada yang menghabiskan hidup mereka untuk mengira digit Pi, tetapi sehingga komputer, kurang dari 1.000 digit telah dikira. Pada tahun 1949, komputer mengira 2.000 digit dan perlumbaannya berjalan. Berjuta-juta digit telah dikira, dengan catatan yang dipegang (pada bulan September 1999) oleh komputer super di University of Tokyo yang mengira 206,158,430,000 digit. (1,000 digit pertama)

Maklumat lebih lanjut mengenai Sejarah Pi boleh didapati di arkib Mac Tutor Math History.

Pendekatan Pi
Archimedes mengira bahawa Pi berada di antara 3 10/71 dan 3 1/7 (juga ditulis 223/71

Laman Web Pi
Pi terus menjadi tarikan ramai orang di seluruh dunia. Sekiranya anda berminat untuk mempelajari lebih lanjut, terdapat banyak laman web yang dikhaskan untuk nombor Pi. Terdapat laman web yang menawarkan beribu-ribu, berjuta-juta, atau berbilion angka, kelab pi, muzik pi, orang yang mengira digit, orang yang menghafal digit, eksperimen Pi dan banyak lagi. Lihat halaman Yahoo ini untuk senarai lengkap.

Eksperimen Pi Hebat
Salah satu kaedah yang paling menarik untuk mengetahui lebih lanjut mengenai Pi adalah dengan melakukan eksperimen pi sendiri. Inilah yang terkenal Jarum Buffon.

Dalam eksperimen Buffon Needle, anda boleh menjatuhkan jarum pada sehelai kertas berlapis. Sekiranya anda memerhatikan berapa kali jarum itu mendarat di talian, ternyata ia secara langsung berkaitan dengan nilai Pi.

Applet Simulasi Jarum Buffon (Michael J. Hurben)
Jarum Buffon (George Reese, Pejabat Pendidikan Matematik, Sains dan Teknologi University of Illinois Champaign-Urbana)

100 tempat perpuluhan pertama

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

1000 tempat perpuluhan pertama
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Pi, Ada? Rahsia Menghafal Berpuluh ribu Digit

Setiap tahun, peminat matematik merayakan Hari Pi pada 14 Mac, kerana tarikh tersebut mengisyaratkan tiga digit pertama (3.14) pi, atau π, pemalar matematik yang mewakili nisbah lilitan bulatan dengan diameternya. Tahun ini, acara ini lebih istimewa kerana, untuk pertama kalinya dalam satu abad, tarikh tersebut akan mewakili lima digit pertama pi: 3.14.15.

Pi adalah nombor tidak rasional, yang bermaksud ia tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, dan representasi perpuluhannya tidak pernah berakhir dan tidak pernah berulang.

Terdapat banyak cara untuk merayakan Hari Pi, termasuk memakan sebilangan besar homophone, pai yang enak. Tetapi segelintir orang semakin mengagumi mereka, dengan membaca puluhan ribu digit pi dari ingatan. [9 Nombor Paling Banyak Di Sedia Ada]

Pada tahun 1981, seorang lelaki India bernama Rajan Mahadevan dengan tepat membaca 31,811 digit pi dari ingatan. Pada tahun 1989, Hideaki Tomoyori dari Jepun membacakan 40,000 digit. Rekod Dunia Guinness semasa dipegang oleh Lu Chao dari China, yang, pada tahun 2005, membaca 67,890 digit pi.

Walaupun pencapaiannya mengagumkan, kebanyakan orang ini tidak dilahirkan dengan kenangan luar biasa, menurut kajian. Mereka hanya belajar teknik untuk mengaitkan rentetan digit dengan tempat atau pemandangan khayalan dalam fikiran mereka.

Bagi kebanyakan juara ingatan ini, kemampuan "mengingat sebilangan besar digit rawak, seperti pi, adalah sesuatu yang mereka latih untuk mereka lakukan dalam jangka masa yang panjang," kata Eric Legge, seorang psikologi kognitif di University of Alberta di Edmonton, Kanada.

Masuk ke istana minda

Alat penghafal pakar sering menggunakan strategi yang dikenali sebagai kaedah loki, juga disebut teknik "istana memori" atau teknik "istana minda" (seperti yang digunakan oleh watak Benedict Cumberbatch dalam Siri TV BBC "Sherlock"). Diterapkan sejak zaman Yunani kuno dan Rom, kaedah ini melibatkan penggunaan visualisasi spasial untuk mengingat maklumat, seperti digit, wajah atau senarai kata.

"Ini adalah salah satu strategi memori yang lebih berkesan, namun kompleks di luar sana untuk mengingati sejumlah besar maklumat," kata Legge kepada Live Science.

Begini caranya: Anda menempatkan diri anda di persekitaran yang tidak asing, seperti sebuah rumah, dan melalui persekitaran itu dengan meletakkan maklumat yang ingin anda ingat di pelbagai tempat. Contohnya, anda mungkin meletakkan nombor "717" di sudut pintu depan, nombor "919" di sink dapur, dan sebagainya, kata Legge.

"Untuk mengingat [digit] secara berurutan, yang harus Anda lakukan hanyalah berjalan di jalan yang sama seperti yang anda lakukan ketika anda menyimpan maklumat itu," kata Legge. "Dengan melakukan ini, orang dapat mengingat sejumlah besar maklumat."

Memelihara, bukan sifat

Anders Ericsson, seorang profesor psikologi di Florida State University di Tallahassee, telah mempelajari Lu dan orang lain yang telah mencatat rekod membaca angka-angka pi, untuk mengetahui bagaimana mereka mencapai prestasi penghafalan yang menakjubkan ini.

Seperti kebanyakan penghafal pi lain, Lu menggunakan teknik visualisasi untuk membantunya mengingat. Dia memberikan gambar seperti kerusi, raja atau kuda kepada gabungan dua digit nombor dari "00" hingga "99." Kemudian dia membuat cerita menggunakan gambar-gambar ini, yang dihubungkan ke lokasi fizikal, kata Ericsson.

Beberapa tahun yang lalu, Ericsson dan rakan-rakannya memberi Lu, serta sekumpulan orang yang sama umur dan tahap pendidikan, ujian yang mengukur "digit rentang" & mdash mereka dengan kata lain, seberapa baik mereka dapat mengingat urutan rawak digit yang ditunjukkan pada kadar satu digit sesaat.

Jangka digit Lu adalah 8,83, dibandingkan dengan rata-rata 9,27 untuk kumpulan yang lain, menurut kajian itu, yang diterbitkan pada tahun 2009 dalam Journal of Experimental Psychology. Hasilnya menunjukkan bahawa, tidak seperti beberapa pakar memori lain yang telah dipelajari, keterampilan Lu dalam menghafal senarai digit yang panjang bukanlah hasil dari kemahiran semula jadi dalam mengekod maklumat. Sebaliknya, ini adalah hasil latihan selama bertahun-tahun, kata Ericsson.

Jadi adakah ini bermaksud ada orang yang boleh belajar mengingat puluhan ribu digit pi?

"Terdapat banyak demonstrasi yang menunjukkan bahawa orang biasa, yang diberi latihan, dapat meningkatkan prestasi mereka secara dramatis" dalam menghafal senarai panjang, kata Ericsson. "Tetapi saya harus jujur," katanya. "Ketika anda membuat komitmen untuk menghafal pi ... kami berbicara bertahun-tahun sebelum anda benar-benar dapat mencapai persembahan rakaman."


Sistem angka dan operasi aritmetik

Orang Mesir, seperti orang Rom setelahnya, menyatakan angka mengikut skema perpuluhan, menggunakan simbol terpisah untuk 1, 10, 100, 1.000, dan seterusnya setiap simbol muncul dalam ungkapan untuk nombor seberapa banyak nilai yang diwakilinya berlaku dalam nombor itu sendiri. Sebagai contoh, berdiri untuk 24. Notasi yang agak membebankan ini digunakan dalam tulisan hieroglif yang terdapat dalam prasasti batu dan teks formal lain, tetapi dalam dokumen papirus para ahli kitab menggunakan skrip yang lebih ringkas, yang disebut tulisan hieratik, di mana, misalnya, 24 ditulis / >.

Dalam sistem sedemikian, jumlah penambahan dan pengurangan menghitung berapa banyak simbol dari setiap jenis yang terdapat dalam ungkapan berangka dan kemudian menulis semula dengan bilangan simbol yang dihasilkan. Teks-teks yang terselamat tidak menunjukkan apa, jika ada, prosedur khas yang digunakan para ahli kitab untuk membantu hal ini. Tetapi untuk pendaraban mereka memperkenalkan kaedah penggandaan berturut-turut. Sebagai contoh, untuk mengalikan 28 dengan 11, seseorang membina jadual gandaan 28 seperti yang berikut:

Beberapa entri di lajur pertama yang berjumlah 11 (iaitu, 8, 2, dan 1) dicentang. Produk kemudian dijumpai dengan menambahkan gandaan yang sesuai dengan entri ini, dengan demikian, 224 + 56 + 28 = 308, produk yang diinginkan.

Untuk membahagikan 308 dengan 28, orang Mesir menggunakan prosedur yang sama secara terbalik. Dengan menggunakan jadual yang sama seperti dalam masalah pendaraban, seseorang dapat melihat bahawa 8 menghasilkan gandaan terbesar dari 28 yang kurang daripada 308 (untuk entri pada 16 sudah 448), dan 8 dicentang. Proses ini kemudian diulang, kali ini untuk selebihnya (84) diperoleh dengan mengurangkan entri pada 8 (224) dari nombor asal (308). Ini, bagaimanapun, sudah lebih kecil dari entri di 4, yang akibatnya diabaikan, tetapi lebih besar daripada entri di 2 (56), yang kemudian dicentang. Proses diulang sekali lagi untuk selebihnya yang diperoleh dengan mengurangkan 56 dari baki sebelumnya dari 84, atau 28, yang juga berlaku sama dengan entri pada 1 dan yang kemudian dicabut. Entri yang telah diperiksa ditambahkan, menghasilkan hasil bagi: 8 + 2 + 1 = 11. (Dalam kebanyakan kes, tentu saja, ada selebihnya yang kurang dari pembahagi.)

Untuk bilangan yang lebih besar, prosedur ini dapat diperbaiki dengan mempertimbangkan gandaan salah satu faktor dengan 10, 20,… atau bahkan dengan susunan magnitud yang lebih tinggi (100, 1.000,…), jika perlu (dalam notasi perpuluhan Mesir, gandaan ini mudah untuk bersenam). Oleh itu, seseorang dapat mencari produk 28 hingga 27 dengan menetapkan gandaan 28 dengan 1, 2, 4, 8, 10, dan 20. Oleh kerana catatan 1, 2, 4, dan 20 menambah hingga 27, satu mempunyai hanya untuk menambah gandaan yang sesuai untuk mencari jawapannya.

Pengiraan yang melibatkan pecahan dilakukan di bawah sekatan kepada bahagian unit (iaitu, pecahan yang dalam notasi moden ditulis dengan 1 sebagai pengangka). Untuk menyatakan hasil pembahagi 4 dengan 7, misalnya, yang dalam notasi moden hanya 4/7, ahli tulis menulis 1/2 + 1/14. Prosedur untuk mencari kuota dalam bentuk ini hanya memperluas kaedah biasa untuk pembahagian bilangan bulat, di mana seseorang sekarang memeriksa entri untuk 2/3, 1/3, 1/6, dll, dan 1/2, 1/4, 1/8, dan lain-lain, sehingga gandaan pembanding yang sesuai berjumlah dividen. (Ahli kitab termasuk 2/3, seseorang dapat memerhatikan, walaupun itu bukan pecahan satuan.) Dalam praktiknya prosedur kadang-kadang boleh menjadi agak rumit (misalnya, nilai untuk 2/29 diberikan dalam papirus Rhind sebagai 1 / 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) dan dapat dikerjakan dengan cara yang berbeza (contohnya, 2/29 yang sama mungkin dijumpai sebagai 1/15 + 1/435 atau sebagai 1/16 + 1 / 232 + 1/464, dll.). Sebilangan besar teks papirus dikhaskan untuk jadual untuk memudahkan penemuan nilai pecahan unit tersebut.

Ini adalah operasi asas yang diperlukan oleh seseorang untuk menyelesaikan masalah aritmetik pada papirus. Sebagai contoh, "untuk membahagikan 6 roti di antara 10 lelaki" (Rhind papirus, masalah 3), seseorang hanya membahagi untuk mendapatkan jawapan 1/2 + 1/10. Dalam satu kumpulan masalah, trik yang menarik digunakan: "Kuantiti (aha) dan yang ke-7 bersama-sama menjadikan 19 — apa itu? ” (Papirus Rhind, masalah 24). Di sini seseorang terlebih dahulu menganggap kuantiti menjadi 7: sejak 1 1 /7 menjadi 8, bukan 19, seseorang mengambil 19/8 (iaitu, 2 + 1/4 + 1/8), dan gandaannya dengan 7 (16 + 1/2 + 1/8) menjadi jawapan yang diperlukan. Jenis prosedur ini (kadang-kadang disebut kaedah "kedudukan salah" atau "anggapan palsu") sudah biasa di banyak tradisi aritmetik lain (misalnya, orang Cina, Hindu, Muslim, dan Renaisans Eropah), walaupun mereka nampaknya tidak mempunyai kaitan langsung kepada orang Mesir.


10,000 digit Pi diformat untuk manusia

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567


Kegembiraan Aritmetik Titik Terapung Sexagesimal

Bulan lalu, saya menulis tentang gembar-gembur di sekitar makalah baru mengenai tablet Plimpton 322 yang banyak dikaji. Tablet Mesopotamia kuno ini, yang telah menjadi subjek banyak makalah akademik selama beberapa dekad terakhir, mempunyai lajur nombor yang berkaitan dengan segi tiga tepat, tetapi kami tidak tahu betul bagaimana atau mengapa jadual itu dibuat.

Dalam catatan saya, saya mengkritik video publisiti yang dibuat oleh penyelidik untuk mengiringi penerbitan makalah tersebut. Secara khusus, saya kesal dengan komen aneh yang dibuat oleh salah seorang penyelidik mengenai utiliti relatif asas 60, atau sexagesimal, berbanding sistem dasar 10, atau perpuluhan yang kita gunakan hari ini.

Untuk jelas, asas 60 mempunyai kelebihan besar berbanding asas 10: 60 dibahagi dengan 3, dan 10 isn & rsquot. Mudah untuk menulis pecahan 1/2, 1/4, dan 1/5 dalam asas 10: masing-masing masing-masing 0,5, 0,25, dan 0,2. Tetapi 1/3 adalah 0.3333 & hellip. Perwakilan perpuluhannya tidak & rsquot berakhir. Itu sebenarnya tidak banyak masalah bagi kita kerana kita selesa mewakili nombor sama ada perpuluhan atau pecahan. Tetapi sistem nombor Babylon tidak mewakili pecahan dari segi pengangka dan penyebut seperti yang kita lakukan. Mereka hanya menggunakan bentuk sexagesimal, yang seperti kita hanya menggunakan perpuluhan dan bukannya menulis nombor sebagai pecahan. Dalam sexagesimal, 1/3 mempunyai gambaran yang mudah seperti. Ini & rsquos 20/60, yang dapat ditulis sebagai .20 dalam sistem sexagesimal. (Tulisan itu tidak ditulis dengan tepat oleh Mesopotamia kuno kerana mereka tidak mempunyai titik yang sama dengan titik perpuluhan. Kami & rsquoll akan kembali ke sana kemudian.)

Faktor yang lebih utama, semakin baik untuk mewakili nombor dengan mudah menggunakan sistem nombor kedudukan seperti asas 10 atau 60, tetapi faktor tambahan itu memerlukan kos. Di pangkalan 10, kita hanya perlu belajar 10 digit. Pangkalan 30, pangkalan terkecil yang dapat dibahagi dengan 2, 3, dan 5 (60 mempunyai faktor tambahan dari 2 yang tidak membuat perbezaan besar dalam seberapa mudah untuk mewakili nombor), memerlukan 30 digit berbeza. Sekiranya kita mahu menulis pecahan seperti 1/7 menggunakan perwakilan yang serupa, kita harus melompat hingga ke 210. Bekerja dengan begitu banyak digit menjadi sangat membebankan dengan cepat.

Pecahan yang penyebutnya hanya mempunyai faktor 2 dan 5 mempunyai perwakilan perpuluhan hingga. Pangkalan 12 juga cukup selesa. Ia mempunyai faktor utama 2 dan 3, dan cukup mudah untuk menghitung hingga 12 jari anda menggunakan buku jari satu tangan dan bukannya jari individu. (Salah seorang pelajar sejarah matematik saya menulis jawatan dengan alasan sistem nombor asas 12, atau dozen.) Dengan asas 12, kami & # 39; kehilangan keupayaan untuk mewakili 1/5 atau 1/10 dengan mudah. Tetapi 30 atau 60, asas terkecil yang membenarkan faktor utama 2, 3, dan 5, sangat besar. Ini adalah pertukaran. Secara peribadi, idea untuk mencatat 30 atau 60 digit yang berbeza, walaupun mereka cukup jelas, seperti angka Babilon, terlalu banyak untuk saya, jadi saya & rsquom tetap dengan 10 atau 12. Tetapi teruskan dan goyang sexagesimal jika itu perkara anda.

Base 60 pastinya mempunyai kelebihan utama berbanding base 10, tetapi saya kesal dengan cara Mansfield melebih-lebihkan kelebihan itu dalam video promosi yang mereka buat untuk menyertai makalah tersebut. Berikut & rsquos apa yang saya tulis mengenainya bulan lalu:

Mungkin kegunaan pelbagai jenis jadual trig adalah masalah pendapat, tetapi video UNSW juga mempunyai beberapa kepalsuan mengenai ketepatan dalam asas 60 berbanding sistem asas 10 yang sekarang kita gunakan. Sekitar tanda 1:10, Mansfield mengatakan, & ldquoKami menghitung di pangkalan 10, yang hanya mempunyai dua pecahan tepat: 1/2, iaitu 0,5, dan 1 / 5. & rdquo Bantahan pertama saya adalah bahawa setiap pecahan tepat. Nombor 1/3 tepat 1/3. Mansfield menjelaskan dengan jelas bahawa maksudnya dengan 1/3 bukan pecahan tepat adalah bahawa ia mempunyai tak terbatas (0.333 & hellip) daripada perpuluhan akhir. Tetapi bagaimana dengan 1/4? Itu & rsquos 0.25, yang berakhir, namun Mansfield tidak menganggapnya sebagai pecahan tepat. Dan bagaimana dengan 1/10 atau 2/5? Itu boleh ditulis 0.1 dan 0.4, yang nampaknya cukup tepat.

Tidak dapat disangkal, ketika dia memuji banyak & ldquoexact pecahan & rdquo yang terdapat di pangkalan 60, dia tidak menerapkan standard yang sama. Di pangkalan 60, 1/8 ditulis 7/60 + 30/3600 yang merupakan idea yang sama dengan menulis 0.25, atau 2/10 + 5/100, untuk 1/4 di pangkalan 10. Mengapa 1/8 tepat di asas 60 tetapi 1/4 tidak tepat di pangkalan 10?

Saya tidak akan mengulang kiriman saya di sini, tetapi saya ingin menjelaskan satu perkara. Sebilangan orang yang mengecam kritikan terhadap video ini berpendapat bahawa nombor yang saya sebutkan di sana hanyalah nombor rawak yang melayang di ether dalam video tersebut. Mereka & tidak bertanya! Kerana Mansfield tidak menjelaskan apa maksud angka, mereka mungkin kelihatan rawak, tetapi sebenarnya, ungkapan 1/8 = 7.30 bermaksud sesuatu. Saya meminta pelajar saya bekerja dengan aritmetik asas 60 sedikit ketika saya mengajar sejarah matematik, jadi saya segera mengenali pasangan yang dipaparkannya sebagai & ldquoreciprocal pair & rdquo di pangkalan 60. Persamaan cuneiform dari persamaan 1/8 = 7.30 akan bermakna bagi orang yang berpendidikan matematik pada tahun 1800 SM.

Tangkapan skrin dari penyelidik video promosi yang dibuat untuk menyertakan kertas kerja mereka mengenai tablet Babylonian Plimpton 322. Kredit: UNSW

Sistem nombor Babylon adalah sistem kedudukan, atau nilai tempat, seperti sistem kita. Dalam sistem perpuluhan kita, digit 1 boleh bermaksud satu unit jika ia & rsquos dengan sendirinya, sepuluh jika & rsquos di tempat berpuluh dalam nombor seperti 10 atau 12, seratus jika & rsquos di tempat seterusnya di sebelah kiri, dan seterusnya. Dalam sistem basis 60 kedudukan, akan ada tempat satu, tempat enam puluhan, tempat tiga puluh enam ratus, dan seterusnya, daripada yang biasa, puluhan, dan ratusan kita biasa. Tetapi selain daripada itu, sistem ini berfungsi sama seperti yang kita lakukan. Ini berbeza dengan, misalnya, angka Rom, di mana saya bermaksud satu, X bermaksud sepuluh, C bermaksud seratus, dan seterusnya. Jadi sistem Babilon sedikit lebih mudah untuk kita bekerjasama daripada sistem Rom.

Tetapi ada kelainan: sistem Babylon tidak menggunakan angka sifar, paling tidak pada awalnya. (Saya menulis tentang pelik ini ketika saya mula mengajar sejarah matematik pada tahun 2014.) Kami menggunakan sifar sebagai tempat letak, sama ada di tengah nombor, seperti di angka 101, atau pada awal (0.001) atau akhir (1.000) hingga nyatakan besarnya bilangan yang kita bicarakan. Mesopotamia kuno tidak, walaupun mereka meninggalkan sedikit ruang untuk digit kosong di tengah-tengah nombor di mana kita akan menulis angka nol pada 101. Mereka menganggap konteksnya akan menjadikan urutan besarnya jelas. Dalam sistem nombor kita, seperti menulis 1 dan dengan anggapan jelas apakah itu bermaksud satu, sepuluh, sepersepuluh, seratus, atau nombor lain yang akan kita tulis dengan hanya menggunakan angka satu dan sifar.

Kedengarannya membingungkan, dan itu menyebabkan beberapa kesilapan, tetapi kami juga membuat kesalahan bodoh berdasarkan cara kami menulis nombor: angka 6 dan 0, atau 1 dan 7, kelihatan serupa dalam tulisan tangan beberapa orang, misalnya. Kita kadang kala menghilangkan susunan besar jika difahami mengikut konteks. Orang bercakap tentang makan sesuatu dengan 100 kalori, yang bermaksud 100 kilokalori. Iklan harta tanah kadang-kadang mengatakan perkara seperti & ldquoHomes dari $ 100's & rdquo (di pinggir bandar Texas ketika saya masih kecil) atau & ldquoUnit dari $ 500's & rdquo (di bandar-bandar besar hari ini). Sekiranya anda muncul dengan beberapa ratus dolar memikirkan anda & rsquoll akan kembali menjadi pemilik rumah, anda & # 39; akan sangat menyesal bahawa anda & # 39; t memahami & # 39;

Pada masa ini, komputer umumnya mewakili dan memanipulasi nombor menggunakan aritmetik titik terapung, yang mungkin mengingatkan anda pada notasi saintifik. Satu set digit menunjukkan digit dalam nombor dan satu set lain menunjukkan susunan besarannya. Dengan cara itu, pada dasarnya memerlukan jumlah memori yang sama untuk menyimpan nombor 12 dengan nombor 12,000,000.Walaupun sistem Babilon tidak menunjukkan pesanan sebesar yang jelas seperti komputer moden, persamaannya cukup bagi beberapa orang untuk menyebutnya sebagai titik terapung seks.

Fakta bahawa 1 dapat menunjukkan satu, enam puluh, tiga puluh enam ratus, atau kekuatan lain dari 60 dalam sistem angka Babilon menyebabkan cara berfikir yang berbeza mengenai perpecahan. Sekiranya mereka mesti membahagi dengan nombor, mereka akan didarabkan dengan & ldquoreciprocal & rdquo dari nombor itu. Dua nombor akan menjadi timbal balik jika produk mereka adalah digit 1. Tetapi itu boleh bermaksud apa-apa yang ditulis sebagai setara dengan digit 1 dalam asas 60: 1, 60, 3600, 1/60, dan sebagainya. Jadi 4 dan 15 membentuk pasangan timbal balik pada asas 60 kerana 4 & kali15 adalah 60. Begitu juga 3 dan 20, 5 dan 12, dan banyak kombinasi lain. (Pasangan ini mungkin terasa biasa: terdapat 15 minit dalam seperempat jam, 20 dalam sepertiga, dan seterusnya. Saya suka menganggap ini sebagai seksagesimism vestigial.) Jadual timbal balik merangkumi pasangan timbal balik yang lebih rumit juga: 8 dan 7,30 9 dan 6,40 1,21 dan 44,26,40. (Hari ini, kita biasanya meletakkan koma di antara digit sexagesimal ketika kita menulisnya dengan perpuluhan Hindu-Arab kita untuk mengelakkan kesamaran. 7,30 bermaksud satu tempat mempunyai 7 di dalamnya dan satu mempunyai 30. Urutan besarnya masih bergantung pada konteks. )

Pada mulanya, pernyataan seperti 1/4 = 15 dan 1/8 = 7,30 terasa tidak wajar bagi saya dan pelajar saya, tetapi saya fikir menerjemahkannya kembali ke pangkalan 10 dapat sedikit membantu. Semasa kecil, saya dapati satu fakta yang menakjubkan: bukannya membiak dengan 5, yang sukar bagi saya, saya boleh membahagi dengan 2, yang mudah bagi saya, dan membiak dengan 10. Saya tidak memikirkannya begitu. Saya menganggapnya lebih sebagai & ldquodivide by 2 dan kemudian menjadikan nombor itu ukuran yang tepat. & Rdquo Kemudian saya mendapati bahawa seseorang boleh membalikkan proses: anda boleh membahagi dengan 5 dengan mengalikan dengan 2 dan menjadikan nombor itu ukuran yang tepat (dengan membahagi dengan 10 , yang kelihatan seperti menghilangkan angka sifar atau memindahkan titik perpuluhan ke kiri)! Saya juga mendapati bahawa saya dapat mengalikan 50 dengan menggunakan muslihat yang sama dan menambahkan 0 yang lain.

Saya cukup senang dengan muslihat kecil ini tetapi tidak pernah memberitahu guru saya kerana saya yakin saya curang. Sekiranya ditangkap, saya mesti belajar membiak atau membahagi dengan 5. Seram! Saya tahu sekarang mengapa muslihat saya berjaya dan ia tidak berlaku curang. Saya menggunakan fakta bahawa 5 dan 2 adalah timbal balik titik apungan perpuluhan. Sebenarnya, bagus untuk dapat memecah nombor dengan cara mudah untuk menjadikan aritmetik lebih mudah. Ketika pertama kali menemui sistem Babylon 60, saya mengenali muslihat 5-2 sebagai versi base 10 pasangan sexagesimal & ldquoreciprocal. & Rdquo Walaupun matematik Mesopotamia mungkin tidak akan mengubah cara kita melakukan trigonometri, bermain dengan angka dan belajar tentang cara yang berbeza untuk mewakili mereka dapat membantu pelajar (dan bukan pelajar) mengembangkan bilangan kita dan bersenang-senang.

Untuk maklumat lanjut mengenai sistem nombor Babylon:
Pengenalan angka Babylon dari laman web sejarah matematik MacTutor
Halaman Matematik Mesopotamia Duncan J. Melville melihat secara khusus & quot Topik Khas, & quot yang merangkumi artikel mengenai pasangan timbal balik Babylon

Pandangan yang diutarakan adalah pandangan penulis dan tidak semestinya pendapat Scientific American.


Pengebumian Firaun

Mumifikasi dan pengebumian menjadi tempat penting dalam kehidupan orang Mesir. Orang Mesir percaya pemeliharaan badan dijamin kelangsungan jiwa di akhirat. Firaun mula membangun makamnya segera setelah memegang takhta. Lokasi dan jenis makam yang dibina berubah dari masa ke masa dan ketika ibu kota negara itu dipindahkan. Makam berisi hiasan perjalanan firaun di akhirat dan teks dari Kitab Orang Mati.

& salin Mary Harrsch - Sarcophagus yang dihiasi

Makam Firaun yang paling awal adalah makam mastaba diperbuat daripada bata lumpur. Para sarjana menjumpai makam ini di beberapa perkuburan tertua berhampiran ibu kota kuno (lihat senarai ibu kota di bawah). Mastabas, seperti semua perkuburan Mesir kuno, berada di tebing barat Sungai Nil, yang merupakan wilayah orang mati.

Piramid adalah penerangan reka bentuk mastaba yang terbuat dari batu. Yang pertama adalah Langkah Piramid Djoser yang Imhotep merancang. Arkitek merancang piramid dan memasukkan kuil mayat dan makam kerajaan lain di kompleks tersebut. Piramid Besar Khufu di Giza adalah contoh terbesar dari makam jenis ini.

& copy DragonWoman - Kompleks Piramid di Giza

Kemudian firaun melihat bahawa perompak kubur masuk ke kubur sebelumnya sehingga mereka membuat rahsia kubur batu karang. Kawasan tempat mereka membina kubur ini sekarang disebut Lembah Raja. Beberapa kubur berisi beberapa bilik dan lebih dari satu pembaris.

Firaun menerima pengebumian yang terperinci mengandungi pelbagai jenis barang. Pada mulanya, para imam menguburkan firaun dengan barang-barang seperti pakaian, perabot, permainan dan perhiasan. Semasa Dinasti Kesembilan belas, para imam mula menguburkannya dengan barang-barang yang dibuat untuk akhirat. Contohnya ialah patung-patung shabti tanah liat yang dibuat untuk melayani firaun. Para imam meletakkan makanan, minyak dan piring di kubur untuk memberi makan raja di akhirat.


Tonton videonya: Sejarah Matematika di Mesir (Mungkin 2022).


Komen:

  1. Burne

    Tidak ada cara

  2. Thor

    Cukup betul! It seems like a good idea to me. Saya setuju dengan awak.

  3. Baris

    Jawapan yang agak berharga

  4. Vuzilkree

    Bravo, frasa ini telah berlaku sebentar tadi



Tulis mesej